Question

m為何值時(shí)，直線2x-y+m=0與圓x²+y²=5.

（1）無(wú)公共點(diǎn)；

（2）截得的弦長(zhǎng)為2；

（3）交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直.

Answer 1

（1）當(dāng)m＞5或m＜-5時(shí)，直線與圓無(wú)公共點(diǎn).（2）當(dāng)m=±2時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2（3）當(dāng)m=±時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直

解析:

（1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r=,

圓心到直線2x-y+m=0的距離

d=

∵直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，∴d＞r,即,

∴m＞5或m＜-5.

故當(dāng)m＞5或m＜-5時(shí)，直線與圓無(wú)公共點(diǎn).

（2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知

r²-d²=1²，即5-=1.

得m=±2,

∴當(dāng)m=±2時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2.

（3）如圖所示，由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，

∴弦與過(guò)弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，

∴d=r，即=·，

解得m=±.

故當(dāng)m=±時(shí)，直線與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直.