Question

已知a＞0且a≠1，f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R）
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷證明；
（2）分a＞1，0＜a＜1兩種情況討論即可利用定義作出證明；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性可把不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得一不等式組，解出即可．

解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)．
∵f（x）定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1）-

a

a2-1

（ax2-a-x2）=

a

a2-1

•

(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

ax1+x2

，
①當(dāng)a＞1時(shí)，

a

a2-1

＞0，又x₁0，ax1+x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）為增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

a

a2-1

＜0，當(dāng)x₁0，ax1+x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）也為增函數(shù)，
綜上f（x）為增函數(shù)；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
又x∈（-1，1），∴

-1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

，
故M={m|1＜m＜

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．