Question

11．已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3，求證：$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由x=y=z=1時(shí)，不等式取得等號，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，且為最值，再由不等式的可加性，即可得證．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，x＞0，
f′（x）=$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}（2x+3）^{2}}$-$\frac{1}{50}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，由3-2x∈（1，3），2$\sqrt{x}$（2x+3）²∈（0，50），
可得$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}（2x+3）^{2}}$＞$\frac{1}{50}$，則f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（x）在x=1處取得極大值，且為最大值0，
即為f（x）≤f（1）=0，
即$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$≤[$\frac{1}{50}$（x-1）+$\frac{1}{5}$]，對x＞0恒成立；
同樣$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$≤[$\frac{1}{50}$（y-1）+$\frac{1}{5}$]，對y＞0恒成立；
$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤[$\frac{1}{50}$（z-1）+$\frac{1}{5}$]，對x＞0恒成立．
相加可得$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{1}{50}$（x+y+z-3）+$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}$．
則原不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1取得等號．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值，考查不等式的性質(zhì)，屬于難題．