Question

3．如圖，P為拋物線C：y²=8x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為拋物線準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，且MF⊥PF，線段MF與拋物線交于點(diǎn)N，若|PF|=8，則$\frac{|MN|}{|NF|}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)求出P的坐標(biāo)，然后求解MF的方程，求出M，N坐標(biāo)，即可求解所求結(jié)果．

解答 解：P為拋物線C：y²=8x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，|PF|=8，F(xiàn)（2，0），可得x_p=6，y_p=4$\sqrt{3}$，
K_PF=$\frac{4\sqrt{3}-0}{6-2}$=$\sqrt{3}$，MF⊥PF，K_PF=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
MF的方程為：y-0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．
即：$\sqrt{3}x+3y-2\sqrt{3}=0$，
$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-2=0}\\{x=-2}\end{array}\right.$解得：M（-2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x+\sqrt{3}y-2=0}\end{array}\right.$，解得：N（14-8$\sqrt{3}$，8-4$\sqrt{3}$）．
則$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\frac{\sqrt{（{\frac{4\sqrt{3}}{3}-8+4\sqrt{3}）}^{2}+（-2-14+8\sqrt{3}）^{2}}}{\sqrt{（{14-8\sqrt{3}-2）}^{2}+（8-4\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}-6}{3（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{（4\sqrt{3}-6）（2+\sqrt{3}）}{3（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．