證明:內(nèi)切圓半徑為定值r的直角三角形中,以等腰直角三角形的周長最。
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分析:如圖,設(shè)βOAB=a,βOBA=β,AF=AD=x,BE=BD=y,利用∠C=90°,推出a-β=2a-45°.設(shè)△ABC周長為l,
可得l=2(x+y+z)=2r(cotα+cotβ+1)=2r[
2
cos(2a-45°)-
2
2
+1
],利用l最小求出,推出,△ABC為等腰直角三角形.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,設(shè)βOAB=a,βOBA=β,AF=AD=x,BE=BD=y,
∵∠C=90°,圓O為△ABC內(nèi)切圓圓心,∴2β=90°-2a,即
a+β=45°,a-β=2a-45°.
∵x=rcota,y=rcotβ,設(shè)△ABC周長為l,
則l=2(x+y+z)=2r(cotα+cotβ+1)
=2r(
cosa
sina
+
cosβ
sina
+1)=2r[
sin(a+β)
sinasinβ
+1
]
=2r{
sin45°
-
1
2
[cos(a+β)-cos(a-β)]
+1}

=2r[
2
cos(2a-45°)-
2
2
+1
]
若l取最小值,則cos(2a-45°)-
2
2
最大,
即2a=45°,△ABC為等腰直角三角形.
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡,數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn),三角函數(shù)的最值的求法,使問題得到化簡,考查計算能力.
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