Question

【題目】已知焦距為2 的橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右頂點為A，直線y= 與橢圓C交于P、Q兩點（P在Q的左邊），Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個不同的點M，N．
（i）若直線l過原點且與坐標軸不重合，E是直線3x+3y﹣2=0上一點，且△EMN是以E為直角頂點的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是橢圓的左頂點，D是直線MN上一點，且DA⊥AM，點G是x軸上異于點M的點，且以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，求證：點G是定點．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得2c=2 ，即c= ，

直線y= 代入橢圓方程可得 + =1，

解得x=±a ，

可得|AB|=a﹣a ，

由四邊形ABPQ是平行四邊形，

可得|AB|=|PQ|=2a ，

解得b= ，a= =2，

可得橢圓的方程為

（2）

解：（i）由直線y=kx代入橢圓方程，可得（1+2k2）x2=4，

解得x=± ，

可設(shè)M（ ， ），

由△EMN是以E為直角頂點的等腰直角三角形，

可設(shè)E（m， ﹣m），E到直線kx﹣y=0的距離為d= ，

即有OE⊥MN，|OM|=d，

即為 =﹣ ， = ，

由m= ，代入第二式，化簡整理可得7k2﹣18k+8=0，

解得k=2或 ；

（ii）證明：由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），

代入橢圓方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，

可得﹣2+xN=﹣ ，

解得xN= ，

yN=k（xN+2）= ，即N（ ， ），

設(shè)G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），

以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，

可得AN⊥DG，

即有kANkDG=﹣1，

即為 =﹣1，

解得t=0．

故點G是定點，即為原點（0，0）

【解析】（1）由題意可得c= ，直線y= 代入橢圓方程，求得P，Q的橫坐標，可得|AB|，由四邊形ABPQ是平行四邊形，可得|AB|=|PQ|，解方程可得b，由a，b，c的關(guān)系可得a，進而得到橢圓方程；（2）（i）由直線y=kx代入橢圓方程，求得M的坐標，由△EMN是以E為直角頂點的等腰直角三角形，可設(shè)E（m， ﹣m），求出E到直線kx﹣y=0的距離d，由題意可得OE⊥MN，|OM|=d，解方程可得k的值；（ii）由M（﹣2，0），可得直線MN的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，可得x的方程，運用韋達定理，可得N的坐標，設(shè)G（t，0），（t≠﹣2），由題意可得D（2，4k），A（2，0），以DN為直徑的圓恒過直線AN和DG的交點，可得AN⊥DG，運用兩直線垂直的條件，可得斜率之積為﹣1，解方程可得t=0，即可得到定點．