【題目】已知圓C：（x+1）2+y2=8，點(diǎn)A（1，0），P是圓C上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交CP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△MON面積的最大值．

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)Q 在線段AP 的垂直平分線上，∴|AQ|=|PQ|．

又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．

∴曲線E是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，C（﹣1，0）和A（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓．

設(shè)曲線E 的方程為 =1，（a＞b＞0）．

∵c=1，a= ，∴b2=2﹣1=1．

∴曲線 E的方程為


（2）解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．

聯(lián)立 消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

此時(shí)有△=16k2﹣8m2+8＞0．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2= ，x1x2= ，．

∴|MN|= =

∵原點(diǎn)O到直線l的距離d= ﹣，

∴S△MON= = ． ，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．

又m≠0，

∴據(jù)基本不等式，得S△MON= ． ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)m2= 時(shí)，不等式取等號(hào)．

∴△MON面積的最大值為


【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可．（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法結(jié)合設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某社區(qū)超市購(gòu)進(jìn)了A，B，C，D四種新產(chǎn)品，為了解新產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，該超市隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為ai ， i=1，2，3，…，15）購(gòu)買(mǎi)這四種新產(chǎn)品的情況，記錄如下（單位：件）：

顧
客
產(chǎn)
品

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

a13

a14

a15

A

1

1

1

1

1

B

1

1

1

1

1

1

1

1

C

1

1

1

1

1

1

1

D

1

1

1

1

1

1

（Ⅰ）若該超市每天的客流量約為300人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)產(chǎn)品A的月銷(xiāo)售量（單位：件）；
（Ⅱ）為推廣新產(chǎn)品，超市向購(gòu)買(mǎi)兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的顧客贈(zèng)送2元電子紅包．現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購(gòu)物，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷(xiāo)售業(yè)績(jī)，應(yīng)該向其推薦哪種新產(chǎn)品？（結(jié)果不需要證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有300名教師，為調(diào)查他們的備課時(shí)間情況，通過(guò)分層抽樣獲得了20名教師一周的備課時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：

高一年級(jí)

7

7.5

8

8.5

9

高二年級(jí)

7

8

9

10

11

12

13

高三年級(jí)

6

6.5

7

8.5

11

13.5

17

18.5


（1）試估計(jì)該校高三年級(jí)的教師人數(shù)；
（2）從高一年級(jí)和高二年級(jí)抽出的教師中，各隨機(jī)選取一人，高一年級(jí)選出的人記為甲，高二年級(jí)選出的人記為乙，假設(shè)所有教師的備課時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的備課時(shí)間不比乙的備課時(shí)間長(zhǎng)的概率；
（3）再?gòu)母咭�、高二、高三三個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取一名教師，他們?cè)撝艿膫湔n時(shí)間分別是8、9、10（單位：小時(shí)），這三個(gè)數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為 ，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為 ，試判斷 與 的大小．（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=eax（a≠0）．
（1）當(dāng) 時(shí)，令 （x＞0），求函數(shù)g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）若對(duì)于一切x∈R，f（x）﹣x﹣1≥0恒成立，求a的取值集合；
（3）求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， Sm﹣1=13，Sm=0，Sm+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，則數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入k的值為3，則輸出S的值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知焦距為2 的橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，直線y= 與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)（P在Q的左邊），Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．
（i）若直線l過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，E是直線3x+3y﹣2=0上一點(diǎn)，且△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是橢圓的左頂點(diǎn)，D是直線MN上一點(diǎn)，且DA⊥AM，點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知向量 ，函數(shù) ，若函數(shù)f（x）圖象的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱(chēng)軸間的距離為 ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若△ABC滿足f（A）=1，a=3，BC邊上的中線長(zhǎng)為3，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2， ．
（1）把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．

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