Question

已知二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镸
（1）若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域M內(nèi)的任意一點(diǎn)，求目標(biāo)函數(shù)Z=

y-1

x

的最大值；
（2）若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域M內(nèi)的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）若點(diǎn)Q（x，y）是不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

表示的區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)Q落在區(qū)域M內(nèi)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）確定二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)Z=

y-1

x

的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（0，1）連線的斜率，即可求目標(biāo)函數(shù)Z=

y-1

x

的最大值；
（2）區(qū)域的面積為

1

2

×(3-1)×1=1，點(diǎn)P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1落在區(qū)域內(nèi)的面積為

1

8

π，則可求點(diǎn)P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率；
（3）不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

落在區(qū)域內(nèi)的面積為

1

2

×1×1=

1

2

，則可求點(diǎn)Q落在區(qū)域M內(nèi)的概率．

解答： 解：（1）二元一次不等式組

x+y≤4 y≥x x≥1

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镸，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=

y-1

x

的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（0，1）連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)（1，3）處，目標(biāo)函數(shù)Z=

y-1

x

的最大值為2；
（2）區(qū)域的面積為

1

2

×(3-1)×1=1，點(diǎn)P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1落在區(qū)域內(nèi)的面積為

1

8

π，
∴點(diǎn)P滿足條件（x-1）²+（y-1）²≤1的概率為

1

16

π；
（3）不等式組

1≤x≤2 0≤y≤2

落在區(qū)域內(nèi)的面積為

1

2

×1×1=

1

2

，
∴點(diǎn)Q落在區(qū)域M內(nèi)的概率為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．