Question

2．已知點(diǎn)P，A，B，C在同一球面上，PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1，則該球的表面積是8π．

Answer 1

分析 由題意，求出△ABC外接圓的半徑，把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，求出上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：由AB=BC=1，且2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=1，可得cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，B=120°，
設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{AC}{sin120°}$=2，∴r=1．
設(shè)球的半徑為R，則
把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，
∴R=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴球的表面積是S=4πR²=8π，
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．