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根據下列條件,分別求出雙曲線的標準方程.

(1)過點P(3,-),離心率e=;

(2)F1、F2是雙曲線左、右焦點,P是雙曲線上一點,且∠F1PF2=60°,=12,離心率為2.

雙曲線方程為-=1.


解析:

(1)若焦點在x軸上,設雙曲線方程為-=1,

由e=,有=,

又由a2+b2=c2,解①②得a2=1,b2=.

若焦點在y軸上,設雙曲線方程為-=1,

同理有=,-=1,a2+b2=c2.

解得b2=-(舍去).

∴所求雙曲線方程為x2-4y2=1.

(2)設雙曲線方程為-=1,

因e==2,

∴2a=c,由||PF1|-|PF2||=2a=c.

由余弦定理得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos60°),

∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|.

又=|PF1||PF2|sin60°=12.

∴|PF1||PF2|=48.

∴3c2=48,得a2=4,b2=12.

∴所求雙曲線方程為-=1.

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觀察法：（1）f(x+
1
x
)=x2+
1
x2
求f（x）；
換元法：（2）f（x-2）=x2+3x+1求f（x）；
待定系數法：（3）已知f（x）是一次函數，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
復合函數的解析式：（4）已知f（x）=x2-1，g(x)=
x+1
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