Question

19．已知四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，點P為AA₁的中點．
（1）求證：AB₁⊥平面PBC；
（2）在BC上找一點Q，使得PQ∥平面CDD₁C₁，并求三棱錐P-QBB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BC，結合ABCD為正方形，可得AB₁⊥BC，再由△ABP≌△A₁AB₁，得AB₁⊥BP，然后利用線面垂直的判定可得AB₁⊥平面PBC；
（2）取DD₁中點M，連接PM，CM，在BC上取點Q，使CQ=PM=3，則CQ∥PM，得到四邊形PQCM為平行四邊形，則PQ∥CM，從而得到PQ∥面CC₁D₁D．然后求出${S}_{△PB{B}_{1}}={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}-{S}_{△P{A}_{1}{B}_{1}}-{S}_{△PAB}$，利用${V}_{P-QB{B}_{1}}={V}_{Q-PB{B}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{PB{B}_{1}}•BQ$求得三棱錐P-QBB₁的體積．

解答 （1）證明：∵AA₁⊥底面ABCD，BC?面ABCD，∴AA₁⊥BC，
∵ABCD為正方形，∴AB⊥BC，則BC⊥面AA₁B₁B，
∵AB₁?面AA₁B₁B，∴AB₁⊥BC，
∵A₁B₁=AP=2，A₁A=AB=4，∠B₁A₁A=∠PAB=90°，
∴△ABP≌△A₁AB₁，可得AB₁⊥BP．
∵BP∩BC=B，∴AB₁⊥平面PBC；
（2）解：取DD₁中點M，連接PM，CM，在BC上取點Q，使CQ=PM=3，則CQ∥PM，
∴四邊形PQCM為平行四邊形，得PQ∥CM．
∴PQ∥面CC₁D₁D．
∵PQCM為平行四邊形，∴$CQ=PM=\frac{1}{2}$（A₁D₁+AD）=3，則BQ=1．
又${S}_{△PB{B}_{1}}={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}-{S}_{△P{A}_{1}{B}_{1}}-{S}_{△PAB}$
=$\frac{1}{2}（2+4）×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×4=6$．
∴${V}_{P-QB{B}_{1}}={V}_{Q-PB{B}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{PB{B}_{1}}•BQ$=$\frac{1}{3}×6×1=2$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．