Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）c為何值時(shí)，曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（1）=0即可解得；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，等價(jià)于f_max（x）=2+c＜c²，利用導(dǎo)數(shù)即可求得其最大值；
（3）由（2）問結(jié)論借助f（x）圖象特征可知：要使曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，只需f_極小值（x）＞0或f_極大值（x）＜0．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，
因?yàn)閒（x）在x=1處取得極值，
所以f′（1）=0，即3-1+b=0，解得b=-2，
故b=-2．
（2）由（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
當(dāng)x＜-

2

3

或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-

2

3

＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
所以當(dāng)x=-

2

3

時(shí)f（x）取得極大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值，f（1）=-

3

2

+c，
又f（-1）=

1

2

+c，f（2）=2+c，
所以當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f_max（x）=2+c，f_min（x）=-

3

2

+c，
當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，等價(jià)于f_max（x）=2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1．
故實(shí)數(shù)c的取值范圍為：c＞2或c＜-1．
（3）由（2）知：當(dāng)x=-

2

3

時(shí)f（x）取得極大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值，f（1）=-

3

2

+c，
根據(jù)f（x）圖象大致形狀可知，要使曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，只需f（-

2

3

）=

22

27

+c＜0，或f（1）=-

3

2

+c＞0，
解得c＜-

22

27

或c＞

3

2

．
故當(dāng)c＜-

22

27

或c＞

3

2

時(shí)y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、函數(shù)恒成立及函數(shù)零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生對(duì)問題的理解轉(zhuǎn)化能力．