Question

一個三棱錐的三視圖如圖所示，其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖面積分別是3、4、6，由這個幾何體外接球表面積為________．

Answer 1

29π
分析：幾何體是一個三棱錐，一條側(cè)棱與底面垂直，底面是一個直角三角形，根據(jù)正視圖、側(cè)視圖、俯視圖面積分別是3、4、6．求出三條邊的長度，這個三棱錐的外接球也是以這個三棱錐三條側(cè)棱為棱的長方體的外接球，做出長方體的直徑，求出球的表面積．
解答：由題意知幾何體是一個三棱錐，一條側(cè)棱與底面垂直，
底面是一個直角三角形，
∵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖面積分別是3、4、6
設出三條互相垂直的棱長是x，y，z，
有xz=6，yz=8，xy=12，
∴x=3，y=4，z=2
這個三棱錐的外接球也是以這個三棱錐三條側(cè)棱為棱的長方體的外接球，
長方體的直徑是，
∴幾何體的外接球的表面積是29π，
故答案為：29π
點評：本題考查球和幾何體之間的關系，本題解題的關鍵是根據(jù)三條側(cè)棱兩兩垂直的關系得到由這三條側(cè)棱構成的長方體，從而得到外接球的表面積．