已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求的最小值．

（Ⅰ）當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝4x；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝0；（Ⅱ）16.

解析試題分析：（Ⅰ）要求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題意列出關(guān)系式－|x|＝1，化簡(jiǎn)得y2＝2x＋2|x|，式中有絕對(duì)值，需要根據(jù)x討論為當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝4x；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝0；（Ⅱ）由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，可以設(shè)為k，則l1的方程為y＝k(x－1)，聯(lián)立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，接著設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．而l1⊥l2，則l2的斜率為－，設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1，利用坐標(biāo)表示出，化簡(jiǎn)得=8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16，故當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時(shí)，取最小值16.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有
－|x|＝1，
化簡(jiǎn)，得y2＝2x＋2|x|．
當(dāng)x≥0時(shí)，y2＝4x；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x（x≥0）和y＝0（x＜0）．
（Ⅱ）由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是
x1＋x2＝2＋，x1x2＝1．
∵l1⊥l2，∴l(xiāng)2的斜率為－．
設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1．
故＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·
＝||||＋||||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16．
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝±1時(shí)，取最小值16．
考點(diǎn)：1.曲線的軌跡方程求解；2.直線與圓錐曲線問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（2）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是、，下頂點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖.若拋物線：與軸的交點(diǎn)為，且經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)，為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．

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設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，，以為圓心的圓與相切于點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，是圓與軸除外的另一個(gè)交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓的方程；
(II)過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，求的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在軸上，離心率，點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，點(diǎn)M（1,1），求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

以點(diǎn)F1（－1,0），F(xiàn)2（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（1，）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點(diǎn)分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 使得

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時(shí),恒有.

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