Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）分別將曲線C的參數(shù)方程和直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)A在曲線C上，動(dòng)點(diǎn)B在直線l上，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2），求|PB|+|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）消參數(shù)，根據(jù)cos²α+cos²α=1得出曲線C的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得到直線l的普通方程；
（2）求出P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′，則|PB|+|AB|的最小值為P′到圓心的距離減去曲線C的半徑．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x-1}\\{sinα=y}\end{array}\right.$，∴（x-1）²+y²=1．
∴曲線C的普通方程是：（x-1）²+y²=1．
∵ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=4．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x+2}=1}\\{\frac{x-2}{2}+\frac{y+2}{2}-4=0}\end{array}\right.$，解得P′（2，6）．
∴P′到曲線C的圓心（1，0）的距離d=$\sqrt{（2-1）^{2}+（6-0）^{2}}$=$\sqrt{37}$．
∴|PB|+|AB|的最小值為$\sqrt{37}-1$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，最短距離的求法，屬于基礎(chǔ)題．