Question

15．對(duì)于函數(shù)y=f（x），若x₀滿(mǎn)足f（x₀）=x₀，則稱(chēng)x₀位函數(shù)f（x）的一階不動(dòng)點(diǎn)，若x₀滿(mǎn)足f（f（x₀））=x₀，則稱(chēng)x₀位函數(shù)f（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，若x₀滿(mǎn)足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，則稱(chēng)x₀為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．
（1）設(shè)f（x）=kx+1．
①當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，并判斷它是否是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)；
②已知函數(shù)f（x）存在二階周期點(diǎn)，求k的值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)g（x）=x²+bx+c都存在二階周期點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=2x+1，結(jié)合二階不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的定義，可得答案；
②由二階周期點(diǎn)的定義，結(jié)合f（x）=kx+1，可求出滿(mǎn)足條件的k值；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)g（x）=x²+bx+c都存在二階周期點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=x²+bx+c=x恒有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，解得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=2x+1，
f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，
解4x+3=x得：x=-1，
即-1為函數(shù)f（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，
時(shí)f（-1）=-1，
即-1不是函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)；
②∵f（x）=kx+1，
∴f（f（x））=k²x+k+1，
令f（f（x））=x，
則x=$\frac{k+1}{1-{k}^{2}}$=$\frac{1}{1-k}$，（k≠±1），或x=0，k=-1，
令f（x）=x，則x=$\frac{1}{1-k}$，
若函數(shù)f（x）存在二階周期點(diǎn)，則k=-1，
（2）若x₀為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．
則f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，
若x₁為函數(shù)f（x）的二階不動(dòng)點(diǎn)，
則f（f（x₁））=x₁，且f（x₁）=x₁，
則f（x₀）=f（x₁），
則x₀≠x₁，且f（x₀）+f（x₁）=-b，
即函數(shù)g（x）=x²+bx+c=x恒有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
故△=（b-1）²-4c＞0恒成立，
解得：c＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題以二階不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)為載體，考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，正確理解二階不動(dòng)點(diǎn)和二階周期點(diǎn)的概念是解答的關(guān)鍵．