Question

17．已知|a_n|是遞增的等差數(shù)列，a₁，a₂是函數(shù)f（x）=x²-10x+21的兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求數(shù)列|a_n|的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=a_n×3ⁿ，求數(shù)列|b_n|的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的零點(diǎn)，得到數(shù)列的第一項(xiàng)與第三項(xiàng)，求出公差，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的或即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-10x+21的兩個(gè)零點(diǎn)為3，7，
由題意得a₁=3，a₃=7．
設(shè)數(shù)列的公差為：d，則2d=4，d=2，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：a_n=2n+1．
（2）b_n=a_n×3ⁿ=（2n+1）×3ⁿ，可得${S_n}=3×3+5×{3^2}+…+（{2n-1}）×{3^{n-1}}+（{2n+1}）×{3^n}$，$3{S_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+…+（{2n-1}）×{3^n}+（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
兩式相減得$-2{S_n}=9+2×（{{3^2}+{3^3}+…+{3^n}}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}=9+（{{3^{n+1}}-9}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
所以${S_n}=n×{3^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．