Question

12．已知函數(shù)$f（x）=|{2x-1}|+x+\frac{1}{2}$的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正實數(shù)，且a+b+c=m，求證：2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca-3abc．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將f（x）的解析式寫成分段函數(shù)的形式可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-\frac{1}{2}x，x≥\frac{1}{2}}\\{-x+\frac{3}{2}，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=1，即可得m的值；
（2）先用作差法證明a³+b³≥a²b+ab²，再結(jié)合基本不等式分析可得a³+b³≥a²b+ab²=ab（a+b）=ab（1-c）=ab-abc，①；同理可以證明b³+c³≥bc-abc，②和a³+c³≥ac-abc，②；將三個式子相加即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)$f（x）=|{2x-1}|+x+\frac{1}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{3x-\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{-x+\frac{3}{2}，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
分析可得f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=1，
即m=1；
（2）證明：由（1）可得a+b+c=1，
由于（a³+b³）-a²b-ab²=（a²-b²）（a-b）=（a-b）²（a+b），
又由a，b，c是正實數(shù)，
則有（a³+b³）-a²b-ab²=（a-b）²（a+b）≥0，
即a³+b³≥a²b+ab²=ab（a+b）=ab（1-c）=ab-abc，①
同理可得：b³+c³≥bc-abc，②
a³+c³≥ac-abc，③
①+②+③可得：2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca-3abc．

點評 本題考查不等式的證明以及分段函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出m的值．