17.已知函數(shù)f(x)=2cos22x-2,給出下列命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,0];
②x=$\frac{π}{8}$為函數(shù)f(x)的一條對稱軸;
③?β∈R,f(x+β)為奇函數(shù);
④?α∈(0,$\frac{3π}{4}$),f(x)=f(x+2α)對x∈R恒成立,
其中的真命題有(  )
A.①②B.③④C.②③D.①④

分析 化簡函數(shù)f(x),求出函數(shù)f(x)的值域,判斷①正確;
計算f($\frac{π}{8}$)不是函數(shù)的最值,判斷x=$\frac{π}{8}$不是函數(shù)的對稱軸,判斷②錯誤;
畫出f(x)的圖象,根據(jù)圖象平移判斷函數(shù)f(x+β)不是奇函數(shù),判斷③錯誤;
根據(jù)f(x)=f(x+2α)求出方程在α∈(0,$\frac{3π}{4}$)的解判斷④正確.

解答 解:由題意,f(x)=2cos22x-2=cos4x-1;
對于①,cos4x∈[-1,1],∴cos4x-1∈[-2,0],
∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,0],①正確;
對于②,x=$\frac{π}{8}$時,f($\frac{π}{8}$)=cos$\frac{π}{2}$-1=-1,
∴x=$\frac{π}{8}$不是函數(shù)f(x)的一條對稱軸,∴②錯誤;
對于③,∵f(x)=cos4x-1的圖象如圖所示,;
函數(shù)f(x+β)的圖象是f(x)的圖象向左或向右平移|β|個單位,
它不會是奇函數(shù)的,故③錯誤;
對于④,f(x)=f(x+2α),∴cos4x-1=cos(4x+8α)-1,
∴8α=2kπ,∴α=$\frac{kπ}{4}$,k∈Z;
又α∈(0,$\frac{3π}{4}$),α=$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{2}$,④正確.
綜上,真命題是①④.
故選:D.

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了命題真假的應(yīng)用問題,是綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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