Question

12．已知點M，N是拋物線C：y=4x²上不同的兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，且滿足∠MFN=135°，弦MN的中點P到C的準(zhǔn)線l的距離記為d，若|MN|²=λ•d²，則λ的最小值為2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，運(yùn)用余弦定理可得|MN|，運(yùn)用拋物線的定義和中位線定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），運(yùn)用基本不等式計算即可得到所求最小值．

解答 解：拋物線y=4x²的標(biāo)準(zhǔn)方程x²=$\frac{1}{4}$y，則焦點F（0，$\frac{1}{16}$），準(zhǔn)線為y=-$\frac{1}{16}$，
過P做PD⊥準(zhǔn)線l交準(zhǔn)線l于D，
設(shè)|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，
可得|MN|²=|MF|²+|NF|²-2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a²+b²+$\sqrt{2}$ab，
由拋物線的定義可得M到準(zhǔn)線的距離為|MF|，N到準(zhǔn)線的距離為|NF|，
由梯形的中位線定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），
由|MN|²=λ•d²，可得$\frac{1}{4}$λ=$\frac{{a}^{2}+^{2}+\sqrt{2}ab}{（a+b）^{2}}$=1-$\frac{（2-\sqrt{2}）ab}{（a+b）^{2}}$≥1-$\frac{（2-\sqrt{2}）ab}{（2\sqrt{ab}）^{2}}$=1-$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
可得λ≥2+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取得最小值2+$\sqrt{2}$，
λ的最小值2+$\sqrt{2}$，
故答案為：2+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理和基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．