Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）
（1）是否存在實數A，B，使得{a_n+A_n+B}為等比數列（其中A，B為常數）；
（2）求數列{na_n+（n+1）²}的前n項和．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先假設實數的存在，進一步利用對應關系求出實數A和B的值．
（2）利用（1）的結論，進一步求出新數列的通項公式，利用分類法和乘公比錯位相減法求數列的和．

解答： 解：（1）假設存在存在實數A和B，使得{a_n+An+B}為等比數列（其中A，B為常數）；
則：a_n+1+A（n+1）+B=2（a_n+An+B）
化簡得：
a_n+1=2a_n+An+B-A與a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）相比較得到：
A=1，B=0
所以：存在實數A=1，B=0，使得{a_n+An+B}為等比數列．
（2）由（1）得：數列{a_n+n}是等比數列
所以：an+n=2•2n-1
整理得：an=2n-n
（2）由（1）得：an=2n-n
所以：nan+(n+1)2=n•2n+2n+1
Sn=1•21+2•22+…+n•2n+2（1+2+…+n）+（1+1+…+1）
設：Tn=1•21+2•22+…+n•2n①
則：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
①-②得：Tn=(n-2)•2n+1+2
所以：Sn=(n-2)•2n+1+2+2(

n2+n

2

)+n
整理得：Sn=(n-2)•2n+1+n2+2n+2

點評：本題考查的知識要點：存在性問題的應用，利用分類法和乘公比錯位相減法求數列的和．屬于中等題型．