已知函數(shù)f(x)=x-
1x+1
,g(x)=x2-2ax+4,若?x1∈[0,1]?x[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
分析:先用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得出其在區(qū)間[0,1]上的值域,f(x)的最小值是f(0)=-1.然后將題中“若?x1∈[0,1]?x[1,2],使f(x1)≥g(x2)”轉(zhuǎn)化為f(x1)的最小值大于或等于g(x2)在區(qū)間[1,2]能夠成立,說明g(x2)≤-1在區(qū)間[1,2]上有解,注意到自變量的正數(shù)特征,變形為 x2+
5
x2
≤2a
,在區(qū)間[1,2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即x2+
5
x2
在區(qū)間[1,2]上的最小值小于或等于2a,問題迎刃解.
解答:解:函數(shù)f(x)=x-
1
x+1
的導(dǎo)數(shù)f/  (x)=1+
1
(x+1)2
>0
,函數(shù)f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
因此若?x1∈[0,1],則f(0)=-1≤f(x1)≤f(1)=
1
2

原問題轉(zhuǎn)化為?x2∈[1,2],使f(0)=-1≥g(x2),
即-1≥x22-2ax2+4,在區(qū)間[1,2]上能夠成立
變形為 x2+
5
x2
≤2a
,在區(qū)間[1,2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解
x2+
5
x2
∈[
9
2
,6]
,所以
9
2
≤2a,可得a≥
9
4

故答案為[
9
4
,+∞)
點(diǎn)評:本題以函數(shù)為載體,既考查了不等式恒成立的問題,又考查了不等式解集非空的問題.采用變量分離避免討論,解化運(yùn)算,是解決本題的捷徑.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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