Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x+1

，g（x）=x²-2ax+4，若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得出其在區(qū)間[0，1]上的值域，f（x）的最小值是f（0）=-1．然后將題中“若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”轉(zhuǎn)化為f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）在區(qū)間[1，2]能夠成立，說(shuō)明g（x₂）≤-1在區(qū)間[1，2]上有解，注意到自變量的正數(shù)特征，變形為 x2+

5

x2

≤2a，在區(qū)間[1，2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即x2+

5

x2

在區(qū)間[1，2]上的最小值小于或等于2a，問(wèn)題迎刃解．

解答：解：函數(shù)f（x）=x-

1

x+1

的導(dǎo)數(shù)f/  (x)=1+

1

(x+1)2

＞0，函數(shù)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
因此若?x₁∈[0，1]，則f（0）=-1≤f（x₁）≤f（1）=

1

2

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為?x_2∈[1，2]，使f（0）=-1≥g（x₂），
即-1≥x₂²-2ax₂+4，在區(qū)間[1，2]上能夠成立
變形為 x2+

5

x2

≤2a，在區(qū)間[1，2]上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解
而x2+

5

x2

∈[

9

2

，6]，所以

9

2

≤2a，可得a≥

9

4

故答案為[

9

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，既考查了不等式恒成立的問(wèn)題，又考查了不等式解集非空的問(wèn)題．采用變量分離避免討論，解化運(yùn)算，是解決本題的捷徑．