Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，則下列關(guān)于f（x），g（x）的四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)；
②關(guān)于x的方程f （z）-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是k∈（-1，0）；
③當(dāng)m=1時(shí)，對(duì)?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）．
其中正確的命題有

 

（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：畫(huà)出函數(shù)f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的圖象，利用圖象法可判斷①和②，分析指定區(qū)間上f（x）與g（x）的值域，進(jìn)而將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題后，可判斷③和④

解答：解：∵函數(shù)f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的圖象如下圖所示：

故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)，即①正確；
由①中函數(shù)圖象可得，若已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，則下列關(guān)于f（x），g（x）的四個(gè)命題，即②正確：
當(dāng)m=1時(shí)，g（x）=x²-2|x|+1，
∵x∈[-1，0]時(shí)，f（x）_max=f（-

1

2

）=1，
x∈[-1，0]時(shí)g（x）=x²-2|x|+1=g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
故x₁=-

1

2

時(shí)，不存在x₂∈[-1，0]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，故③錯(cuò)誤；
∵x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-1，1]，
x∈[-1，1]時(shí)g（x）=x²-2|x|+m=g（x）=x²+2x+1+（m-1）∈[m-1，m]，
若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，
則m＞-1，即滿足條件的m的范圍為（-1，+∞），故④錯(cuò)誤；
故正確的命題有：①②④
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握分段函數(shù)圖象的畫(huà)法，并能將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．