給出下列四個(gè)命題:
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x
,則函數(shù)g(x)=f(2x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn);
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2(x1≠x2)必有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2
;
③已知f(x)=|2-x+1-1|,a<b,f(a)<f(b),則必有0<f(b)<1;
④已知f(x)、g(x)是定義在R上的兩個(gè)函數(shù),對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•g(y),且f(0)=0,但x≠0時(shí)f(x)•g(x)≠0.則函數(shù)f(x)、g(x)都是奇函數(shù).
其中正確命題的序號是
①③
①③
分析:①通過方程組求得f(x),從而求得g(x),由g(x)=0即可判斷其正誤;
②可借助圖形判斷其正誤;
③可利用f(x)=|2-x+1-1|在(a,b)上單調(diào)遞增,判斷③;
④分別判斷f(x),g(x)的奇偶性,即可判斷④的正誤.
解答:解:∵f(x)+2f(
1
x
)=3x①,
∴2f(x)+f(
1
x
)=
3
x
②,
②×2-①得:f(x)=
2
x
-x,
∴g(x)=f(2x)=
2
2x
-2x=
2-22x
2x
,由g(x)=0解得x=
1
2
,
∴函數(shù)g(x)=f(2x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn);①正確;
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2(x1≠x2)必有f(
x1+x2
2
)>
f(x1)+f(x2)
2
,故②錯(cuò)誤;
對于③f(x)=|2-x+1-1|,
∵a<b,f(a)<f(b),
∴f(x)=|2-x+1-1|在(a,b)上單調(diào)遞增,
∴f(x)=1-2-x+1(2-x+1-1<0即x>1),
∴b>1,
∴0<f(b)=|2-b+1-1|=1-2-b+1<1,故③正確;
對于④,令x=0,有f(-y)+f(y)=0,f(-y)=-f(y)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
∵x≠0時(shí),f(x)•g(x)≠0,
∴g(-y)=
f(x+y)+f(x-y)
2f(x)
=g(y),
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù),
∵④錯(cuò)誤.
綜上所述,①③正確.
故答案為:①③.
點(diǎn)評:考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法,難點(diǎn)在于綜合考察函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,零點(diǎn)與最值,考察點(diǎn)跨度大,難度大,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、已知a、b是兩條不重合的直線,α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若a⊥α,a⊥β,則α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;
③若α∥β,a?α,b?β,則a∥b;
④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b.
其中正確命題的序號有
①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞);
②函數(shù)y=x2-4x+6,當(dāng)x∈[1,4]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇3,6];
③函數(shù)y=3(x-1)2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到;
④若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,1];
⑤若A={s|s=x2+1},B={y|x=
y-1
}
,則A∩B=A.
其中正確命題的序號是
③④⑤
③④⑤
.(填上所有正確命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將邊長為2,銳角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成二面角A-BD-C,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AC,BD的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:
①EF∥AB;②直線EF是異面直線AC與BD的公垂線;③當(dāng)二面角A-BD-C是直二面角時(shí),AC與BD間的距離為
6
2
;④AC垂直于截面BDE.
其中正確的是
②③④
②③④
(將正確命題的序號全填上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題的個(gè)數(shù)為(  )
①命題“?x0∈R,2x0≤0”的否定是“?x∈R,2x>0”;
log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2;
③函數(shù)y=tan
x
2
的對稱中心為(kπ,0),k∈Z;
④[cos(3-2x)]=-2sin(3-2x)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0且a≠1)的定義域相同;
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同;
③函數(shù)y=
1
2
+
1
2x-1
y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函數(shù);
④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù),其中正確命題的序號是(  )

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