Question

16．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)C$（\frac{3π}{8}，0）$，函數(shù)圖象上與點(diǎn)C相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)為D$（\frac{π}{8}，2）$，
（1）求該函數(shù)的解析式f（x）．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最值及其對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)函數(shù)的最高點(diǎn)求得A=2，然后由CD對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)的差得到周期，從而求得ω，通過(guò)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求得φ；
（2）由（1）的解析式得到ωx+φ的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求最值以及自變量值．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$，該函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)C$（\frac{3π}{8}，0）$，函數(shù)圖象上與點(diǎn)C相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)為D$（\frac{π}{8}，2）$，
所以A=2，且$\frac{T}{4}=\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}=\frac{π}{4}$，T=π，所以$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}$=2，且sin（2×$\frac{π}{8}$+φ）=1，所以φ=$\frac{π}{4}$；
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由（1）得到2x+$\frac{π}{4}$∈[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，所以當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{4}$即x=$-\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）的最小值為2×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=-\sqrt{2}$；
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的解析式的求法以及由三角函數(shù)解析式求最值；關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)．