【題目】已知函數(shù).

1)若曲線處的切線相互平行,求的值;

2)試討論的單調(diào)性;

3)設(shè),對(duì)任意的,均存在,使得.試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】f′(x)ax(2a1)(x0)

(1) f′(1)f′(3),解得a.(4)

(2) f′(x)(x0)

當(dāng)0a<時(shí),>2,

在區(qū)間(0,2)和上,f′(x)0;

在區(qū)間上,f′(x)0,

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和,單調(diào)遞減區(qū)間是.(6)

當(dāng)a=時(shí),f′(x)≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)(8)

當(dāng)a>時(shí),0<<2,在區(qū)間和(2,+∞)上,f′(x)0;在區(qū)間上,f′(x)0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是.(10)

(3) 由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.(11)

由已知,g(x)max0,由(2)可知,

當(dāng)0a≤時(shí),f(x)(0,2]上單調(diào)遞增,

f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln2

=-2a22ln2,

2a22ln20,解得aln21ln210,故0a≤.(13)

當(dāng)a>時(shí),f(x)]上單調(diào)遞增,在]上單調(diào)遞減,

f(x)maxf=-2--2lna.

a>可知lnalnln=-1,2lna>-2,-2lna2,

22lna0,f(x)max0,(15)

綜上所述,a0.(16)

【解析】

試題(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用條件曲線處的切線相互平行得到,從而在方程中求出的值;(2)對(duì)參數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論,以確定方程的根是否在定義域內(nèi),并對(duì)時(shí),就導(dǎo)數(shù)方程的根的大小進(jìn)行三種情況的分類討論,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)將問題中的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,充分利用(2)的結(jié)論確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值,從而求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析:函數(shù)定義域?yàn)?/span>,

1函數(shù)

依題意,,即,解得;

2

當(dāng)時(shí),,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),,故的單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時(shí),,

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

3)由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(x)max.

由已知,g(x)max0,由(2)可知,

當(dāng)a≤時(shí),f(x)(0,2]上單調(diào)遞增,

f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln2

=-2a22ln2

2a22ln20,解得aln21,ln210,故ln21a≤.

當(dāng)a時(shí),f(x)]上單調(diào)遞增,在]上單調(diào)遞減,

f(x)maxf=-22lna.

a可知lnalnln=-1,2lna>-2,-2lna2,

22lna0,即f(x)max0,符合題意。

綜上所述,aln21.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗龃鸢福;

(Ⅱ)估計(jì)在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅,恰有一桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20;

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55,38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.

注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得

②若,則,

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表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望

(注:若三個(gè)數(shù)滿足,則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)).

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