Question

已知函數(shù)f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常數(shù)a，b∈Q，其中Q為有理數(shù)，使得f（x）的值域?yàn)閇-

3

，

3

-1]，若存在，求出對應(yīng)的a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：函數(shù)f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b=-

3

asin2x-a(1+cos2x)+3a+b=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b．由于x∈[

π

4

，

3π

4

]，可得(2x+

π

6

)∈[

2π

3

，

5π

3

].sin(2x+

π

6

)∈[-1，

3

2

]．對a分類討論即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=-

3

asin2x-2acos²x+3a+b=-

3

asin2x-a(1+cos2x)+3a+b
=-2a(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+2a+b
=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b．
∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴(2x+

π

6

)∈[

2π

3

，

5π

3

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，

3

2

]．
①當(dāng)a＞0時(shí)，-

3

a+2a+b≤f（x）≤4a+b，假設(shè)存在常數(shù)a，b∈Q，其中Q為有理數(shù)，使得f（x）的值域?yàn)閇-

3

，

3

-1]，
則

- 3 a+2a+b=- 3 4a+b= 3 -1

，解得a=5

3

-8，舍去；
②當(dāng)a＜0時(shí)，4a+b≤f（x）≤-

3

a+2a+b，假設(shè)存在常數(shù)a，b∈Q，其中Q為有理數(shù)，使得f（x）的值域?yàn)閇-

3

，

3

-1]，
則

4a+b=- 3 - 3 a+2a+b= 3 -1

，解得a=-

3

-2，舍去；
③當(dāng)a=0時(shí)，舍去．
綜上可得：不存在常數(shù)a，b∈Q，其中Q為有理數(shù)，使得f（x）的值域?yàn)閇-

3

，

3

-1]．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．