Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，a₅等比數(shù)列，當n≥5時，a_n＞0．
（Ⅰ）求證：當n≥5時，{a_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用4S_n=a_n²+2a_n-3，再寫一式，兩式相減，利用當n≥5時，a_n＞0，即可得出{a_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）確定首相，公比，分別求和，即可求{a_n}的前n項和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：由4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3
兩式相減得，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
當n≥5時，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴當n≥5時，{a_n}成等差數(shù)列．                
（Ⅱ）解：由4a₁=a₁²+2a₁-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤4），
∴q=-1，
而a₅＞0，
∴a₁＞0，
從而a₁=3．
∴a_n=

3×(-1)n-1，n=1，2，3，4 2n-7，n≥5

，
∴S_n=

3 2 [1-(-1)n]，n=1，2，3，4 n2-6n+8，n≥5

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．