【題目】如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明及，即可證明：平面，問題得證。

（2）建立空間直角坐標系，由（1）得為平面的法向量，求得平面的法向量為，利用空間向量夾角的數(shù)量積表示即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：因為，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

又平面，所以，

因為為中點，且為等邊三角形，所以.

又，所以平面.

（2）取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，

因為平面平面，所以平面，

所以，由，，

可知，所以.

以中點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

所以，，，，，

所以，，

由（1）知，為平面的法向量，

因為為的中點，

所以，

所以，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，

取，則.

所以 .

因為二面角為鈍角，

所以，二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),,設(shè)．

(1)如果曲線與曲線在處的切線平行,求實數(shù)的值；

(2)若對,都有成立,求實數(shù)的取值范圍；

(3)已知存在極大值與極小值,請比較的極大值與極小值的大小,并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形所在平面與所在平面垂直，且，.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為

（1）求直線l和圓C的直角坐標方程；

（2）若點在圓C上，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的右焦點為，且短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)點為橢圓與軸正半軸的交點，是否存在直線，使得交橢圓于兩點，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)有且僅有1個零點，則實數(shù)的取值范圍為________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，如圖甲，正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖乙所示，且，點在線段上且不與點，重合，直線與由，，三點所確定的平面相交，交點為.

（1）若，試確定點的位置，并證明直線平面；

（2）若，求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某輛汽車以千米/小時的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全要求）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，且．

（1）若汽車以千米/小時的速度行駛時，每小時的油耗為升，欲使每小時的油耗不超過升，求的取值范圍；

（2）求該汽車行駛千米的油耗的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案