Question

14．某幾何體的展開(kāi)圖如圖所示（其中△VAB，△V₁AC，△V₂BC，△ABC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形）．將它沿AB、BC、AC折疊還原為原幾何體，使得V、V₁、V₂重合于點(diǎn)V．
（1）求原幾何體的表面積；
（2）若M為AB中點(diǎn)，求在原幾何體中直線VM與直線BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）原幾何體是棱長(zhǎng)為2的正四面體V-ABC，由此能求出原幾何體的表面積．
（2）取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，PN，則MN∥BC，∠VMN是原幾何體中直線VM與直線BC所成角，由此能求出原幾何體中直線VM與直線BC所成角的余弦值．

解答 解：（1）如圖，原幾何體是棱長(zhǎng)為2的正四面體V-ABC，
∴原幾何體的表面積：
S=4S_△ABC=4×$\frac{1}{2}×AB×AC×sinA$
=4×$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$
=4$\sqrt{3}$．
（2）取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，PN，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴MN∥BC，
∴∠VMN是原幾何體中直線VM與直線BC所成角，
∵VM=VN=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，
∴cos∠VMN=$\frac{V{M}^{2}+M{N}^{2}-V{N}^{2}}{2×VM×MN}$=$\frac{3+1-3}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴原幾何體中直線VM與直線BC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的表面積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．