Question

19．求證：當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{1}{{e}^{x}}+\frac{4x}{x+4}≥1$．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，從而求導(dǎo)f′（x）=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，再令g（x）=16e^x-（x+4）²，從而求導(dǎo)g′（x）=16e^x-2（x+4），二階求導(dǎo)g″（x）=16e^x-2，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明．

解答 證明：令f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
f′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{16}{（x+4）^{2}}$=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，
令g（x）=16e^x-（x+4）²，
則g′（x）=16e^x-2（x+4），
g″（x）=16e^x-2，
∵x≥0，∴g″（x）=16e^x-2＞0，
故g′（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
且g′（0）=16-8=8＞0，
故g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
且g（0）=16-16=0，
故g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
故f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
故f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）≥f（0）=1+0=1，
即當(dāng)x≥0時(shí)，$\frac{1}{{e}^{x}}+\frac{4x}{x+4}≥1$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及利用函數(shù)的思想證明不等式的應(yīng)用，注意對函數(shù)的連續(xù)求導(dǎo)的應(yīng)用．