Question

1．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知點P（0，$\frac{3}{2}$）到橢圓上的點的最遠距離是$\frac{7}{4}$，則短半軸之長b=（　�。�

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得：橢圓的標準方程為：x²+4y²=4b²．可設橢圓上的任意一點Q（x，y），則x²=4b²-4y²，（-b≤y≤b）．|PQ|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-3（y+\frac{1}{2}）^{2}+4^{2}+3}$．對b與$\frac{1}{2}$的大小關系分類討論，利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得：c²=3b²，a²=4b²．
∴橢圓的標準方程為：x²+4y²=4b²．
可設橢圓上的任意一點Q（x，y），則x²=4b²-4y²，（-b≤y≤b）．
∴|PQ|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-3（y+\frac{1}{2}）^{2}+4^{2}+3}$．
①若-b＞-$\frac{1}{2}$即0＜b$＜\frac{1}{2}$，則當y=-b時|PQ|²最大，即$（-b-\frac{3}{2}）^{2}$=$（\frac{7}{4}）^{2}$，解得b=$\frac{1}{4}$．
②若-b≤-$\frac{1}{2}$≤b，即$b≥\frac{1}{2}$時，y=-$\frac{1}{2}$時，4b²+3=$（\frac{7}{4}）^{2}$，解得b=$\frac{1}{8}$，與$b≥\frac{1}{2}$矛盾，舍去．
綜上可得：b=$\frac{1}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、二次函數(shù)的單調性、兩點之間的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．