Question

12．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的，且這個幾何體的體積為$\frac{40}{3}$．
（1）求幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積；
（2）若點P在線段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，求線段A₁P的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長方體的體積減去切除的三棱錐的體積=幾何體的體積，求出A₁A的長度，求解各平面的面積可得幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積；
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，過Q作QP∥CB交BC1于點P，則A₁P⊥C₁D，證明C₁D⊥PA₁，利用△C₁D₁Q∽△CC₁D，求C₁Q=1，證明四邊形PQ₁A₁為直角梯形，運用勾股定理求線段A₁P的長．

解答 解：（1）根據(jù)長方體的體積減去切除的三棱錐的體積=幾何體的體積，即${V}_{ABCD-{{A}_{1}B}_{1}{C}_{1}}={V}_{A{C}_{1}}-{V}_{B-A{B}_{1}{C}_{1}}$=$2×2×A{A}_{1}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×A{A}_{1}=\frac{10}{3}A{A}_{1}$=$\frac{40}{3}$，
∴AA₁=4
∴A₁B=C₁B=2$\sqrt{5}$，A₁C₁=$2\sqrt{2}$，設(shè)A₁C₁D₁的中點H，
則BH=$3\sqrt{2}$．
∴${S}_{△{A}_{1}B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$
幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積S=3×8+4+2+6=36．
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交C₁C于Q，
過Q作QP∥CB交BC1于點P，則A₁P⊥C₁D．
∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D₁?平面CC₁D₁
∴A₁D₁⊥C₁D，
而QP∥CB，A₁D₁∥CB，∴QP∥A₁D₁
又∵A₁D₁∩QD₁
∴C₁D⊥平面PQC₁A₁
∵C₁D?平面PQC₁A₁且PA₁?平面PQC₁A₁，
∴C₁D⊥PA₁
∵△C₁D₁Q∽△CC₁D，
∴$\frac{{C}_{1}Q}{CD}=\frac{{{D}_{1}C}_{1}}{{C}_{1}C}$，
∴C₁Q=1，
又∵QP∥CB，
∴QP=$\frac{1}{4}$CB=$\frac{1}{2}$
∴四邊形PQD₁A₁為直角梯形，且高D₁Q=$\sqrt{5}$．
∴PA₁=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+5}=\frac{\sqrt{29}}{2}$．
故得點P在線段BC₁上，且A₁P⊥C₁D，線段A₁P的長為$\frac{\sqrt{29}}{2}$．

點評 本題考查了立體幾何的體積計算，考查了線面、面面平行，線面、面面垂直等簡單的立體幾何知識，考查學生對書本知識的掌握情況以及空間想象、推理能力，是中檔題．