正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角為a,側(cè)面與底面的二面角的平面角為β,則cosα+cos2β的值是(  )
A、0
B、2
C、1
D、
3
2
分析:設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a,側(cè)棱長為b,作出兩個二面角的平面角,求解即可.
解答:解:設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a,側(cè)棱長為b,過S做SE⊥AB與E,SO⊥底面ABCD與O,連EO,則∠SEO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角,即為β,在三角形SEO中,SE2=b2-
1
4
a2
,OE=
a
2
,所以cos2β=
1
4
a2
b2-
1
4
a2

過B做BH⊥SA與H,連CH,由△SAB≌△SAC,所以CH⊥SC,則角BHC即為兩個側(cè)面所成的二面角的平面角,即a,
在△BCH中,BC=
2
a
,BH=CH=
a
b2-
1
4
a2
b
,由余弦定理可得cosα=
-
1
4
a2
b2-
1
4
a2
,
所以cosα+cos2β=0
故選A
點(diǎn)評:本題考查二面角的做法和求解、解三角形知識,考查空間想象能力和運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角為α,側(cè)面與底面的二面角的平面角為β,則2cosα+cos2β的值是( 。
A、1
B、2
C、-1
D、
3
2

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(2)斜高;

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正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角為α,側(cè)面與底面的二面角的平面角為β,則2cosα+cos2β的值是( )
A.1
B.2
C.-1
D.

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正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角為a,側(cè)面與底面的二面角的平面角為β,則cosα+cos2β的值是( )
A.0
B.2
C.1
D.

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