【題目】已知橢圓C： (＞b＞0)的離心率為，A(,0)， B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|·|BM|為定值．

【答案】(1) (2)見解析.

【解析】試題分析：

運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合的關(guān)系，解方程可得,進(jìn)而得到橢圓方程。

設(shè)橢圓上點(diǎn)可得,求出直線的方程，令求得,求出直線的方程，令求得，化簡整理，即可得到的定值

(1)解　由已知＝，ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.

∴橢圓方程為＋y2＝1.

(2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．

設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則＋y＝1.

當(dāng)x0≠0時(shí)，直線PA方程為y＝(x－2)，

令x＝0得yM＝.

從而|BM|＝|1－yM|＝.

直線PB方程為y＝x＋1.

令y＝0得xN＝.

∴|AN|＝|2－xN|＝.

∴|AN|·|BM|＝·

＝·

＝

＝＝4.

當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

∴|AN|·|BM|＝4.

故|AN|·|BM|為定值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)椋?/span> ）
A.（﹣1，1]
B.（﹣1，0）∪（0，1]
C.（﹣1，1）
D.（﹣1，0）∪（0，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分）如圖，三棱柱中，，，．

（1）證明：；

（2）若，，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若對任意， ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4．
（Ⅰ）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號為n，求n＜m+2的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)ω＞0，函數(shù)y=sin（ωx+ ）+2的圖象向右平移 個(gè)單位后與原圖象重合，則ω的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）滿足，對任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，有f（x）≤ （x+2）2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）﹣ x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點(diǎn)都位于直線y= 的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)已知當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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