Question

7．記min{a，b，c}為a，b，c中的最小值，若x，y為任意正實數，則M=min{2x，$\frac{1}{y}$，y+$\frac{1}{x}$}的最大值為（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設a=2x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$，都大0，不妨設a≤b，可得$\frac{2-^{2}}$≤c-a≤$\frac{3-{a}^{2}}{a}$，對a與$\sqrt{3}$的大小分類討論即可得出

解答 解：設a=2x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$，都大0，
不妨設a≤b，則$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}$，
則$\frac{1}$+$\frac{2}$-b≤c-a=$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$-a，
∴$\frac{3-^{2}}$≤c-a≤$\frac{3-{a}^{2}}{a}$，
當a≥$\sqrt{3}$時，c≤a，此時c最小，
當0＜a＜$\sqrt{3}$，c-a≥0，此時a最小，M≤$\sqrt{3}$，
綜上可得，M的最大值為$\sqrt{3}$，
故選：D

點評 本題考查了不等式的性質，分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題