Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*，{a_n}的前n項和為S_n，則S_2n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題中條件知{a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成了首項為1，公差為1的等差數(shù)列，而其偶數(shù)項則構(gòu)成了首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出該數(shù)列的前20項的和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N^*，
∴a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂+0=4，a₅=a₃+1=3，a₆=2a₄=8…
即其奇數(shù)項構(gòu)成了首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
而其偶數(shù)項則構(gòu)成了首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以該數(shù)列的前2n項的和：
S_2n=[n+

n(n-1)

2

×1]+

2(1-2n)

1-2

=

n2+n

2

+2n+1-2．
故答案為：

n2+n

2

+2n+1-2．

點評：本題考查數(shù)列的前2n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．