Question

南昌市為增強市民的交通安全意識，面向全市征召“小紅帽”志愿者在部分交通路口協(xié)助交警維持交通，把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組[20，25）、第2組[25，30）、第3組[30，35）、第4組[35，40）、第5組[40，45），得到的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）若從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者在五一節(jié)這天到廣場協(xié)助交警維持交通，應(yīng)從第3、4、5組各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的條件下，南昌市決定在這12名志愿者中隨機抽取3名志愿者到學(xué)校宣講交通安全知識，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3組的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖求出第3、4、5組的人數(shù)，再利用分層抽樣在600名志愿者中抽取12名志愿者，求出第3、4、5組每組抽取的人數(shù)．
（2）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由題意可知，第3組的人數(shù)為0.06×5×1000=300，
第4組的人數(shù)為0.04×5×1000=200，
第5組的人數(shù)為0.02×5×1000=100．…3分
所以利用分層抽樣在600名志愿者中抽取12名志愿者，每組抽取的人數(shù)為：
第3組

12

600

×300=6，第4組

12

600

×200=4，第5組

12

600

×100=2．…6分
（2）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 6

C 3 12

=

1

11

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 6

C 3 12

=

9

22

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 6

C 3 12

=

9

22

，
P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 12

=

1

11

，…10分
所以，ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 11	9 22	9 22	1 11

所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

11

+1×

9

22

+2×

9

22

+3×

1

11

=

3

2

…12分．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．