Question

7．平面直角坐標系中，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點$（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點K（2，0）作一直線與橢圓C交于A，B兩點，過A，B點作橢圓右準線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，試問直線AB₁與A₁B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點$（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，列出方程橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$．
（2）當直線AB的斜率不存在時，$l：x=\frac{5}{2}，A{B_1}$與A₁B的交點是$（\frac{9}{4}，0）$；當直線AB的斜率存在時，設直線AB為y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，得：（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，利用韋達定理、直線方程，結合已知條件求出直線AB₁與A₁B過定點$（\frac{9}{4}，0）$．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點$（\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{5}{{4{a^2}}}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{5}\\ b=1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$．
（2）①當直線AB的斜率不存在時，準線$l：x=\frac{5}{2}，A{B_1}$與A₁B的交點是$（\frac{9}{4}，0）$；
②當直線AB的斜率存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB為y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{20{k^2}}}{{1+5{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}$，
設$A（\frac{5}{2}，{y_1}），B（\frac{5}{2}，{y_2}）$，則${l_{A{B_1}}}：y=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{\frac{5}{2}-{x_1}}}（x-\frac{5}{2}）+{y_2}$，①，
${l_{{A_1}{B_{\;}}}}：y=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-\frac{5}{2}}}（x-\frac{5}{2}）+{y_1}$，②，
聯立①②解得：x=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{25}{4}}{{x}_{1}+{x}_{2}-5}$=$\frac{\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}-\frac{25}{4}}{\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-5}$=$\frac{-45（1+{k}^{2}）}{-20（1+{k}^{2}）}$=$\frac{9}{4}$，
代入①，得：
$y=\frac{{k（{x_2}-{x_1}）}}{{-10+4{x_1}}}+{y_2}=\frac{{-9k（{x_1}+{x_2}）+4k{x_2}{x_1}+20k}}{{4{x_1}-10}}=\frac{{-9k•\frac{{20{k^2}}}{{1+5{k^2}}}+4k•\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}}}{{4{x_1}-10}}=0$，
綜上，直線AB₁與A₁B過定點$（\frac{9}{4}，0）$．

點評 本題考查橢圓方程求法，考查考查兩直線的交點是否為定點的判斷與求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．