Question

甲、乙 兩地相距100km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過60km/h，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（元）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度x（km/h）的平方成正比例，比例系數(shù)為

1

60

，固定部分為60元．
（Ⅰ）將全程的運(yùn)輸成本y（元）表示為速度x（km/h）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）判斷此函數(shù)的單調(diào)性，并求當(dāng)速度為多少時，全程的運(yùn)輸成本最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出汽車全程行駛時間，汽車每小時的全部運(yùn)輸成本，即可得到函數(shù)解析式，并確定函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義，可得函數(shù)在（0，60]上是減函數(shù)，從而可求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，汽車全程行駛時間為

100

x

小時；汽車每小時的運(yùn)輸成本的可變部分為

1

60

x2元；汽車每小時的全部運(yùn)輸成本為（

1

60

x2+60）元；
所以，所求的函數(shù)為y=

100

x

(

1

60

x2+60)，即y=

5

3

x+

6000

x

（0＜x≤60）．
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂是（0，60]上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=(

5

3

x1+

6000

x1

)-(

5

3

x2+

6000

x2

)

= 5 3 x1- 5 3 x2+ 6000 x1 - 6000 x2

=

5

3

（x₁-x₂）（1-

3600

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂≤60，∴x₁-x₂＜0，1-

3600

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函數(shù)f(x)=

5

3

x+

6000

x

在（0，60]上是減函數(shù)．
因此，當(dāng)x=60時，ymin=

5

3

×60+

6000

60

=200．
故當(dāng)速度為60km/h時，全程的運(yùn)輸成本最小，最小成本為200元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的確立，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．