Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若0＜α＜π，且cosα=

2

2

，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）由0＜α＜π，且cosα=

2

2

，可得sinα=

2

2

．代入f（x）即可得出．
（II）由函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

，利用倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)-1．即可得出．

解答： 解：（I）∵0＜α＜π，且cosα=

2

2

，
∴sinα=

2

2

．
∴f（α）=cosα（sinα-cosα）-

1

2

=-

1

2

．
（II）函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）-

1

2

=sinxcosx-cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x-

cos2x+1

2

-

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)-1．
∴T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，解得

3π

8

+kπ≤x≤kπ+

7π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

3π

8

+kπ，kπ+

7π

8

]（k∈Z）．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．