Question

①由“若a，b，c∈R，則（ab）c=a（bc）”類比“若

a

，

b

，

c

為三個(gè)向量，則（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）”
②設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0與坐標(biāo)軸的4個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，y₁）、D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；
④在實(shí)數(shù)列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
上述四個(gè)推理中，得出的結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：逐個(gè)驗(yàn)證：（1）向量要考慮方向．
（2）x²+Dx+F=0，y²+Ey+F=0，解為x₁，x₂，y₁，y₂，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系判斷即可，
（3）平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；故正確．
（4）在實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}中，由a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，可得a₂=±1，分類討論，可得a₃，a₄．

解答： 解：（1）由向量的運(yùn)算可知（

a

•

b

）•

c

與

c

共線，

a

•（

b

•

c

）”與

a

共線，而由向量的運(yùn)算可知

a

與向量

c

，方向不一定共線，故①錯(cuò)誤．
（2）∵設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0與坐標(biāo)軸的4個(gè)交點(diǎn)分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）、C（0，y₁）、D（0，y₂），
∴x²+Dx+F=0，y²+Ey+F=0，解為x₁，x₂，y₁，y₂，
∴x₁x₂-y₁y₂=F-F=0，故②正確，
（3）根據(jù)在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中
“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四面的面積，③正確．
（4）在實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}中，∵a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
∴a₂=±1，
當(dāng)a₂=1時(shí)，a₃=0，a₄=±1，此時(shí)a₁+a₂+a₃+a₄=2或0．
當(dāng)a₂=-1時(shí)，a₃=±1，當(dāng)a₃=1時(shí)，a₄=0；當(dāng)a₃=-1時(shí)，a₄=2．此時(shí)a₁+a₂+a₃+a₄=0．
綜上可得：a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．因此④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．但類比推理的結(jié)論不一定正確，還需要經(jīng)過證明．