Question

如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，.和分別是和的中點，求證：

（Ⅰ）底面；

（Ⅱ）平面；

（Ⅲ）平面平面.

 

Answer 1

【答案】

把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直是常見的轉(zhuǎn)化.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.要證直線和平面平行，可以利用直線和平面平行的判定定理完成。證明平面與平面垂直，需要在一個平面內(nèi)找到一條和另一個平面垂直的直線，依據(jù)平面與平面垂直的判定定理。

【解析】（Ⅰ）因為平面底面，且垂直于這兩個平面的交線，

所以底面.

（Ⅱ）因為，，是的中點，

所以，且.

所以為平行四邊形.

所以，.

又因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）因為，并且為平行四邊形，

所以,.

由（Ⅰ）知底面，

所以，

所以平面.

所以.

因為和分別是和的中點，

所以.

所以.

所以平面.

所以平面平面.

【考點定位】本題考查了直線和平面平行、垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查推理論證能力.