精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知點P1（x，y）為雙曲線（b為正常數）上任一點，F2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于P2．
（1）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x1，y1）（y1≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

【答案】分析：（1）由已知得，則直線F2A的方程為：，令x=0得P2（0，9y），設P（x，y），則，由此能求出P的軌跡E的方程．
（2）在中，令y=0得x2=2b2，設，直線QB的方程為：，直線QD的方程為：，則M（0，），N（0，），由此能導出以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．
解答：解：（1）由已知得，則直線F2A的方程為：，
令x=0得y=9y，即P2（0，9y），
設P（x，y），則，即代入得：，
即P的軌跡E的方程為．
（2）在中令y=0得x2=2b2，則不妨設，
于是直線QB的方程為：，∴直線QD的方程為：，
則M（0，），N（0，），
則以MN為直徑的圓的方程為：，
令y=0得：，而Q（x1，y1）在上，則，
于是x=±5b，即以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．
點評：本題考查軌跡方程的求法和求證以MN為直徑的圓過兩定點．解題時要要認真審題，熟練掌握圓錐曲線的性質，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-1，1)，
n
=(1，2)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的公共點，等差數列{an}的公差為1．
（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=
5
n|
P1Pn
|
(n≥2)，c1=1，數列{cn}的前n項和Sn滿足M+n2Sn≥6n對任意的n∈N*都成立，試求M的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

2、在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數是（　　）
①點P關于x軸對稱點的坐標是P1（x，-y，z）  ②點P關于yOz平面對稱點的坐標是P2（x，-y，-z）  ③點P關于y軸對稱點的坐標是P3（x，-y，z）  ④點P關于原點對稱的點的坐標是P4（-x，-y，-z）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數列{an}的公差為1，n∈N+．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N+使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（3）求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2009年江西省高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點P1（x，y）為雙曲線（b為正常數）上任一點，F2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于P2．
（1）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x1，y1）（y1≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案