Question

已知點(diǎn)集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)，點(diǎn)列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁為L與y軸的公共點(diǎn)，等差數(shù)列{a_n}的公差為1．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=

5

n| P1Pn |

(n≥2)，c1=1，數(shù)列{c_n}的前n項和S_n滿足M+n²S_n≥6n對任意的n∈N^*都成立，試求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算得

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)得：y=

m

•

n

=2x+1，然后再根據(jù)等差通項公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后再根據(jù)b_n=2an+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）利用條件可得cn=

1

n-1

-

1

n

，從而Sn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，故有

M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2- 1 n )≥6n， 要使M≥7n-2n2=-2(n- 7 4 )2+ 49 8 對任意n∈N*都成立，

，從而可解．

解答：解：（I）由

m

=(2x-1，1)，

n

=(1，2)得：y=

m

•

n

=2x+1
∴L：y=2x+1，P₁（0，1），即a₁=0，b₁=1，故a_n=n-1，b_n=2n-1（n∈N^*）
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，Pn(n-1，2n-1)，

P1Pn

=(n-1，2n-2)，∴|

P1Pn

|=

5

(n-1)
故cn=

5

n| P1Pn |

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

則Sn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2- 1 n )≥6n， 要使M≥7n-2n2=-2(n- 7 4 )2+ 49 8 對任意n∈N*都成立，

只須M≥6，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時等號成立，即M的取值范圍為M≥6

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與向量的綜合，考查裂項法求和，同時考查了最值法解決恒成立問題，屬于中檔題．