Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0）或F₂（c，0）（c＞0），且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F₂的最短距離為

3

-

2

（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（0，

2

）且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？若存在，試求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由于橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F₂的最短距離為

3

-

2

，可得a-c=

3

-

2

，又b=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）A(

3

，0)，B（0，1）．假設(shè)存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．可得x₁+x₂=-

3

，與橢圓方程聯(lián)立化為(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，由△＞0，解得k2＞

1

3

．利用x₁+x₂=-

6 2 k

1+3k2

，解出k并驗(yàn)證即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F₂的最短距離為

3

-

2

，∴a-c=

3

-

2

，
又b=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出a=

3

，c=

2

，b=1．
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）A(

3

，0)，B（0，1）．
假設(shè)存在k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-

3

，y₁+y₂=1．
聯(lián)立

y=kx+ 2 x2+3y2=3

，化為(1+3k2)x2+6

2

kx+3=0，
△=72k²-12（1+3k²）＞0，解得k2＞

1

3

．
∴x₁+x₂=-

6 2 k

1+3k2

，
∴-

3

=-

6 2 k

1+3k2

，化為3k2-2

6

k+1=0，
解得k=

6 ± 3

3

．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證：只有k=

6 + 3

3

滿足△＞0．
∴存在k=

6 + 3

3

，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、向量的關(guān)系定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．