Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+a

x+1

（其中a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=

1

2

x+b，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）欲求實數(shù)a、b的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：由f(x)=

x2+a

x+1

，可得f′(x)=

x2+2x-a

(x+1)2

．…．（2分）
（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=

1

2

x+b，得：

f′(1)= 1 2 f(1)= 1 2 +b

…．（4分）
解得 

a=1 b= 1 2

…．（5分）
（Ⅱ）令f'（x）＞0，得x²+2x-a＞0…①…．（6分）
當(dāng)△=4+4a≤0，即a≤-1時，不等式①在定義域內(nèi)恒成立，所以此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，+∞）．…．（8分）
當(dāng)△=4+4a＞0，即a＞-1時，不等式①的解為x＞-1+

1+a

或x＜-1-

1+a

，
…．（10分）
又因為x≠-1，所以此時函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1-

1+a

)和(-1+

1+a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1-

1+a

，-1)和(-1，-1+

1+a

)．
．…．（12分）
所以，當(dāng)a≤-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，+∞）；
當(dāng)a＞-1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1-

1+a

)和(-1+

1+a

，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(-1-

1+a

，-1)和(-1，-1+

1+a

)..…．（13分）

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．