Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，S為△ABC的面積，若S=

3

4

(b2-a2-c2)，（1）求角B的大��；（2）求

a+c

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面積公式表示出S，和已知的S相等得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)余弦定理表示出cosB，把求出的關(guān)系式代入利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可得到tanB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由正弦定理化簡(jiǎn)所求的式子，把B的度數(shù)代入即可得到所求式子與sinA和sinC的關(guān)系式，利用三角形的內(nèi)角和定理及B的度數(shù)，得到A與C的和，用C表示出A，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把關(guān)系式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由角的范圍利用正弦函數(shù)的圖象得到正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而得到所求式子的范圍．

解答：解：（1）由S=

1

2

acsinB，又S=

3

4

(b2-a2-c2)得：
a²+c²-b²=-

2 3

3

acsinB，
則cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

3

3

sinB，即tanB=-

3

，又B∈（0，π），
所以B=

2π

3

；
（2）由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

，又B=

2π

3

，
所以

a+c

b

=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

[sinA+sin（

π

3

-A）]
=

2 3

3

（sinA+sin

π

3

cosA-cos

π

3

sinA）=

2 3

3

sin（

π

3

+A），
由A+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

），得到sin（

π

3

+A）∈（

3

2

，1]，
則

a+c

b

∈(1，

2 3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道中檔題．