Question

設(shè)橢圓過點M（，1），且左焦點為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷是否存在經(jīng)過定點（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點并且滿足•，若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵左焦點為F1（-，0），
∴c²=a²-b²=2，
∵橢圓過點M（，1），
∴，
聯(lián)立，得a²=4，b²=2，
∴橢圓C方程：．
（2）存在經(jīng)過定點（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點并且滿足•．
設(shè)直線l為y=kx+2，
把y=kx+2代入，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，
∵，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
解得k=，
∴直線l為．
分析：（1）由左焦點為F1（-，0），知c²=a²-b²=2，由橢圓過點M（，1），知，聯(lián)立，能推導(dǎo)出橢圓C方程．
（2）設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，由，知x₁x₂+y₁y₂=0，所以，由此能求出直線l的方程．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量、韋達定理的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．