Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）-1在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而確定極值情況．
（2）由題意可得a=x（1-lnx）在x∈[e^-1，e]上有兩個零點，令g（x）=x（1-lnx），求出導數(shù)，求得單調區(qū)間，可得最值，再由函數(shù)方程的思想，可得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′（x）＜0，解得；0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
函數(shù)f（x）有極小值，
f（x）_極小值=f（a）=1+lna．
（2）函數(shù)h（x）=f（x）-1在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，
即為a=x（1-lnx）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，
令g（x）=x（1-lnx），g′（x）=1-lnx-1=-lnx，
當$\frac{1}{e}$≤x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當1＜x≤e時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
x=1處取得最大值，且為1，
x=$\frac{1}{e}$時，g（x）=$\frac{2}{e}$；x=e時，g（x）=0．
由題意可得：$\frac{2}{e}$≤a＜1，
則a的取值范圍是[$\frac{2}{e}$，1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用，函數(shù)的單調區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)和方程的轉化思想的運用，屬于中檔題．